Un problema con più equilibri

Michele ha scritto:

Gentile professoressa, le chiedo aiuto riguardo al seguente problema …

Si sciolga il composto PbCrO₄ in un terreno con pH = 6 a 25 °C. Usando le costanti di equilibrio qui riportate, calcolare le concentrazioni all’equilibrio di [Pb⁺⁺], [CrO₄^--] e [Cr₂O₇^--], sempre a 25 °C (i coefficienti di attività vengono assunti = 1).

K_ps (PbCrO₄) = 2,82·10^-13

K_a2 = [H⁺][CrO₄^--]/[HCrO4^-] = 3,34·10^-7

K_d = [Cr₂O₇^--]/[H⁺]²[CrO₄^--]² = 3,13·10¹⁴

Grazie mille per il suo aiuto, e visto il periodo tanti auguri di buona Pasqua!!

Rispondo così:

Caro Michele, gli equilibri presenti in soluzione sono in effetti numerosi e ognuno legato agli altri dalla presenza dello ione cromato. Ti suggerisco pertanto di indicare con x la concentrazione all’equilibrio proprio dello ione cromato e di utilizzarla per esprimere le concentrazioni degli altri ioni.

Come mostrano le seguenti reazioni, gli ioni cromato sono in equilibrio con gli ioni idrogenocromato e con gli ioni dicromato:

PbCrO₄ = Pb²⁺ + CrO₄^2-                                                            K_ps = 2,82·10^-13

HCrO₄^- = CrO₄^2- + H⁺                                                         K_a2 = [H⁺][CrO₄^2-]/[HCrO₄^-] = 3,34·10^-7

2CrO₄^2- + 2H⁺ = Cr₂O₇^2-     + H₂O                              K_d = [Cr₂O₇^2-]/[H⁺]²[CrO₄^2-]² = 3,13·10¹⁴

Il numero di moli di ioni cromato che vanno complessivamente in soluzione deve essere uguale sia al numero di moli di ioni Pb²⁺ presenti in soluzione all’equilibrio, sia alla somma degli ioni cromato, idrogenocromato e dicromato presenti in soluzione all’equilibrio. Il numero di moli dello ione dicromato va moltiplicato per due, perché per ogni ione dicromato che si forma vengono sottratti due ioni cromato.

[Pb²⁺] = [CrO₄^2-]  +  [HCrO₄^-] + 2 [Cr₂O₇^2-]

Dalla relazione della K_a2 ricavi la concentrazione dello ione idrogenocromato in funzione della x, tenendo presente che si conosce il valore della concentrazione degli ioni H⁺ a pH 6,  pari a 10^-6 M:

[HCrO₄^-] = [H⁺][CrO₄^2-]/K_a2 = 10^-6 x / 3,34·10^-7 = 3 x

Dalla relazione della K_d ricavi la concentrazione dello ione dicromato in funzione della x, sempre sostituendo la concentrazione degli ioni idrogeno in soluzione:

[Cr₂O₇^2-] = K_d [H⁺]²[CrO₄^2-]² = 3,13·10¹⁴(10^-6 )²x² = 313 x²

Sostituendo nella relazione iniziale, si ricava la concentrazione degli ioni piombo in funzione della x:

[Pb²⁺] = x + 3 x + 626 x² = x (4+ 626 x)

Siccome il valore di x è piccolo, è possibile nonché consigliabile, trascurare il termine additivo 626 x, e considerare [Pb²⁺] = 4 x

A questo punto, utilizzando il K_ps, si sostituiscono le concentrazioni di ioni piombo e di ioni cromato e si ricava il valore di x:

K_ps = [H⁺][CrO₄^--] = 4x² = 2,82·10^-13 x = 2,65·10^-7 M

In effetti trascurabile all’interno della precedente equazione!

In definitiva:

[Pb²⁺] = 4x = 1,06 ·10^-6 M

[CrO₄^2-] = x = 2,65·10^-7 M

[Cr₂O₇^--] = 313 x²  = 2,20·10^-11 M

Auguri a te, per i tuoi studi!